找到Ax=b的全部解
先解出一个特殊解：\(x_p\)，然后你会发现这个解加上任何一个位于\(Nullspace\)中的向量都是一个解（因为零空间是所有满足\(Ax=0\)的\(x\)集合），也就是说，\(x=x_p+x_n\)。
接着，使用上节课的思路：所有位于零空间的向量就是“把一个自由变量设为1，其他自由变量为0得到的\(Ax=0\)的解”的所有线性组合：
如果我们尝试把它的解集画出来，大概长这样：
它是一个穿过\(x_p\)的平面，但是不一定穿过原点，因此它不是子空间。
满秩矩阵
（如果\(r=n\)，则它是一个列满秩矩阵，解的数量为\(0\)或\(1\)）
（如果\(r=m\)，则它是一个行满秩矩阵，对于任何\(b\)，都存在解。留下了\(n-r\)个自由变量，如果存在自由变量，即\(n-r>0\)，就有无穷多解。）
如果\(r=m=n\)，说明它是可逆矩阵，即有唯一解。
总结
| 情形 | 条件 | 行最简形式 R | 解的个数 |
|---|---|---|---|
| 1 | \(r=m=n\) | \(R=I\) | 唯一解（1 个） |
| 2 | \(r=n<m\) | \(R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}\) | 0 个或 1 个解 |
| 3 | \(r=m<n\) | \(R=\begin{bmatrix}I & F\end{bmatrix}\) | 无穷多解 |
| 4 | \(r<m, r<n\) | \(R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\) | 0 个或无穷多解 |
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