简介
四种子空间分别是：
- 列空间：\(C(A)\)，在\(R^m\)，维度\(r\)
- 零空间：\(N(A)\)，在\(R^n\)，维度\(n-r\)
- 行空间：\(C(A^T)\)，在\(R^n\)，维度\(r\)
- 左零空间：\(N(A^T)\)，在\(R^m\)，维度\(m-r\)
关于行空间的维度
事实是：\(Dimension\ of\ C(A) = Dimension\ of\ C(A^T) = r\)
一个不太严谨但是很好的说明是：
首先，对\(A\)进行高斯消元，化为主元列只有主元位置是\(1\)的最简形式，此时并不会改变行空间的维度，也不会改变矩阵对应方程组的解集；
我们显然会得到\(r\)个非零行，并且有\(r\)个主元列，因此行空间和列空间的维度都是\(r\)。
关于左零空间
左零空间就是\(N(A^T)\)，也就是说，左零空间是满足\(A^T y = 0\)的\(y\)所在的空间，把整个等式左右两边同时转置得到\(y^T A = 0^T\)，这是一个行向量左乘一个矩阵等于零行向量，因此叫它“左零空间”。
当我们进行行化简后，得到\(EA = R\)形式：
其中\(R\)底部会有一些零行，这些零行正是对应的\(E\)的这些行左乘\(A\)矩阵得到的，也就是说，\(E\)的这些行正是左零空间的基。
总结
现在我们知道了这四种空间，两个在\(R^n\)的空间：行空间和零空间，它们的维度分别是\(r\)和\(n-r\)；两个在\(R^m\)的空间：列空间和左零空间，它们的维度分别是\(r\)和\(m-r\)。
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