矩阵的秩（Rank）是消元后“枢轴”的位置。
进行前向消元后会得到一个阶梯型矩阵，这个例子中我们得到了2个枢轴列和两个自由列。因为我们可以给\(x_2\)和\(x_4\)分配任意值，然后求解出\(x_1\)和\(x_3\)。
零空间就是所有“特殊解”向量所张成的子空间。“特殊解”的意思是把自由变量们赋值为“其中一个是1，其他是0”的形式所得到的方程组解。
简化阶梯型矩阵：
就是每个“枢轴”列只有一个数是\(1\)，其他都是\(0\)的阶梯型矩阵。
其中\(I\)代表单位矩阵，\(F\)代表自由变量们的行和列“分离”出的子矩阵。
同一向量空间的子空间\(S\)和\(T\)的交集也是一个子空间。
\(A的列空间是所有列向量的线性组合\)。
求\(A\)矩阵的列空间就等同于问“方程\(Ax=b\)对于任意向量x，会得到哪些b？”
我们只能在\(b\)向量在\(A\)矩阵列空间的时候求解出方程\(Ax=b\)。
但是，原矩阵有一个问题：我们可以“丢掉”任意一列，然后得到完全相同的向量空间。因为第三列是前两列的和。如果我们有了前两列，第三列就可以用前两列的某种线性变换表示，第三列就没有任何“新的贡献”。也就是说，第三列是和前两列线性相关的。
零空间指的是所有能满足\(Ax=0\)的\(x\)组成的向量空间。
原矩阵的零空间就是所有这种形式的矩阵组成的\(R^3\)的子空间。它是一条在\(R^3\)空间的直线。
这节课主要讲解了得到子空间的两种思路：
其中\(P\)是一个行被重新排列的单位矩阵。
\(n \times n\)的矩阵一共有\(n!\)种\(P\)的组合。
对称矩阵：\(A^T=A\)。
\(RR^T\)永远都是对称矩阵。
向量空间(Vector Space)是指一堆能相互加，也可以把自身乘以一个标量，最终还会得到一个本空间内的向量的东西。此外，它必须满足8条公理。
比如，\(R^N\)空间是一个向量空间，因为对它进行加和数乘操作是封闭的。
一个向量空间中的向量空间叫做子空间（Subspace）。
\(R^2\)的子空间可以是所有位于一条穿过原点的直线上的向量。
但是这个子空间并不是\(R^1\)，因为它里面的向量都有两个分量。
所有的\(R^2\)的子空间：
这个例子中的矩阵的两列的向量，所表示的所有线性组合（即其一的倍数+另一的倍数）被称为列空间(Column space)，顾名思义，就是矩阵的列向量们所张成的一个向量空间，而它们张成的这个列空间一定是\(R^3\)的一个子空间。
也就是说，一个矩阵的列的所有线性组合，张成了一个向量空间，叫做列空间。
\(AB\)的逆是\(B^{-1}A^{-1}\)，这是很显然的（一个很蠢的类比：你穿上袜子再穿上鞋子的逆是你先脱掉鞋子再脱掉袜子）。
另一个公式：
$$(AB)^T=B^T A^T$$
因此
$$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$$
考虑高斯消元的过程：
（初等矩阵的逆矩阵就是把那个负的变成正的，相当于把减去的那行再加回来）
我们这里已经可以看到L和U的大体“形状”了：L在对角线上全是1，并且是一个正三角形；U是一个倒三角形，对角线上都是我们的“支点”。
三维情况：
如果没有行交换操作，所有的\(E_{??}^{-1}\)会直接“进入”\(L\)中，我们不需要做任何事情，只需要把改的位置都原样放进\(L\)里，就像上面那样。但是反之，所有\(E_{??}\)相乘得到的\(E\)矩阵，就不能这么操作。因为编号较小的行先改变了，编号较大的行才改变，但是编号较大的行需要使用编号较小的行，但此时它已改变。所以上面这个例子中会产生一个我们不喜欢的\(10\)。
可计算出高斯消元的时间复杂度是\(\frac{1}{3} n^3\)。
行交换的初等矩阵记作\(P\)，而3维中\(P\)的所有组合如下：
一个\(3\times 3\)的矩阵只有6个不同的\(P’s\)。
这些矩阵很特殊：它们互相无论怎么乘，都会得到一个在这个列表中的一个矩阵，同样，它们的逆矩阵也在列表中。这些矩阵组成了一个群（Grup）。并且，\(P^{-1}=P^T\)。
若\(AB=C\)，则
角度1：
$$C_{i,j}=(row\ i\ of\ A) \cdot (column\ j\ of\ B)$$
角度2,3：
角度4：
首先考虑，用A的一列乘B的一行会得到什么？
这是一个\(m \times 1\)的矩阵乘一个\(1\times p\)的矩阵，所以会得到一个\(m \times p\)的矩阵，并且得到的这个矩阵非常特殊，因为它的行列空间都分别在一条直线上。
而第4种角度就是：
$$C = \sum_{i=1}^n(column\ i\ of\ A) \cdot (row\ i\ of\ B)$$
角度5：
“分块”
$$C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}$$
这种思想被广泛应用于GPU并行计算等场合。
一个矩阵的逆矩阵要保证
$$A^{-1}A = I = AA^{-1}$$
但并不是每个矩阵都有逆矩阵，没有逆矩阵的矩阵称为“奇异矩阵”。
首先，如果原矩阵不是方阵，就不存在逆矩阵。
然后，如果存在某个非零向量x，使得\(Ax=0\)，A就不存在逆矩阵。因为如果它存在，我们会解出\(x=0\)，但实际上x非零。
高斯消元法：
对AI增广矩阵进行若干次行初等变换（就像之前文章说的那样，行初等变换操作就相当于左乘一个初等矩阵，对增广矩阵进行操作是为了方便把等号左右两边同时操作），我们先会得到一个“倒三角形矩阵”（这是因为我们只消除了左下这一个三角形的数）；然后，通过回代的方式，只让对角线有数字；最后，把对角线上的数都归一。这样进行若干次行初等变换后，\(A\)变成了\(I\)，同理\(I\)就变成了\(A^{-1}\)
不定积分：若\(F'(x)=f(x)\)，则称函数F(x)是f(x)的一个不定积分。
可积分函数都有无穷多个不定积分，而它们的差异仅仅在常数项上。
微积分基本定理2：
若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个不定积分，则：
$$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) – F(a)$$
这意味着我们计算定积分时仅需求不定积分之差。
此文我们将先探讨线性组合的基本定义（公式为主），然后再思考它的几何层面含义。
线性方程组是形式如下的方程组： \(
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3
\)
“线性”表示它的含字母项的次数都是1。
它可以写成矩阵形式： \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\)
把系数矩阵叫做 A，未知数向量叫做 x，结果常数向量叫做b，原线性方程组可改写为：
$$A \cdot x = b$$
非常的简洁。
（如果你还不清楚矩阵乘向量的代数计算方法，请到文章最后一部分）
如上图所示，当我们“横向”考虑这个矩阵（也就是二元线性方程组）时，方程组的解就是每个方程所对应的直线（这也是它叫做“线性方程”的原因——方程的图像都是直线）的交点：\((1, 2)\)。
那么，如果我们“纵向”考虑那个矩阵，会发现什么呢？
如上图，我们会得到一个整齐的式子：A的第一列向量乘第一个未知数 + A的第二列向量乘第二个未知数 = 结果常数向量b。
矩阵乘以向量就被称为列的线性组合。
在几何坐标系中画出两个向量\(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)，由于我们已经解出了\(x=1, y=2\)，因此我们可以把\(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)代入到原先\(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)的地方，看看最后是否得到了b，就像图中画的那样，最后得到的向量加法结果恰好就是\(\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}\)这个向量，也就是b。
如果x和y是未知数，在大多数情况下，经过线性组合后，x和y经过线性组合后的结果会充满整个二维平面，也就是说任何二维向量都可以被x, y经过这个线性组合所描述。
说到这里，就不得不提基向量了。在二维物理问题中，我们会把一个向量写成\(a \cdot \hat{i} + b \cdot \hat{j}\)的形式，其中
$$ \hat{\imath} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \hat{\jmath} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
那么如果我们把\(\hat{i} \)和\(\hat{j} \)改变为其他向量会发生什么？也就是，如果我们把坐标系的基改变，会发生什么？
聪明的你一定发现了：线性组合的本质实际上就是改变基！矩阵乘向量，就意味着对向量做这个矩阵所描述的线性变换，也就是，在以该矩阵所描述的基向量的“坐标系”下，这个向量所对应的那个向量在原坐标系中的向量值。
矩阵的第 \(i\)列，就表示第\(i\)个轴上的基向量改变成了什么向量。
考虑三维情况：3个未知数和3个方程构成的线性方程组。我们也可以把它写成图中的矩阵形式：
\(\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ -1 \\4 \end{bmatrix}\)
还是先横向考虑：考虑其中一个线性方程，比如第二个，我们会得到一个平面（所有满足该方程组的解都在一个处于三维空间的二维平面上）。
若同时考虑两个方程，所有满足条件的点就是两个平面相交所产生的直线。
同时考虑三个方程，满足条件的点只有一个：三个平面的交点。
如果纵向考虑该矩阵，我们会得到这样的线性组合形式：
这三个就是新的基向量。
它的解可以被直接看出来，也就是 \(x=0, y=0, z=1\)的时候。
思考：一个\(n \times n\)方阵的线性组合总是能生成任何一个n维向量吗？
答案为：不一定。在大多数情况下，确实是这样的，但是在某些 情况下，由于矩阵列之间的线性依赖（某个基向量可以被其他基向量的组合表示），会导致线性变换所能生成的空间降维，因此不一定。
矩阵乘向量就是线性组合（也叫线性变换），而它的计算方式的符号表示法就是用向量的第1个数乘矩阵的第1列 加上 向量的第2个数乘矩阵的第2列，这样计算下去。
当然，也可以用点积的思想， 矩阵的第1行与向量的点积得到结果的第1个数，矩阵的第2行与向量的点积得到结果的第2个数。
若\(g’ = f \) ，则称 g 是 f 的一个不定积分（也叫原函数）。由于求导会“吞掉”常数项，因此若g是f的一个不定积分，那么\(g + C \) 一定也是f的一个不定积分（其中C是常数）。更专业地说，所有形如\(g + C \)的函数（一定是f的不定积分）全体构成一个以常数为参数的族。
如图列出了一个 f 和 g 的关系，其实和微分中f’和f的关系一样。
微积分基本定理是一个非常重要、优美且符合直觉的定理。它的公式如下：
$$
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)
$$
这意味着，一个函数积分的导数是原函数。
求 \(\frac{d}{dx} \int_2^x cos^2(x) \)
解：
很显然，答案就是里面的原函数，也就是 \(cos^2(x) \) 。
先看题目：
定义 \(f(x) = \int_0^{x^2} sin(x) \) ，求 \(f'(20)\) 。
看起来也可以用该定理求出答案，但是此时积分的上限变成了\(x^2\) ，而不是 \(x\) ，这怎么办呢？
有一个拆分函数的思路可以解决这种问题：
定义
$$g(x) = \int_0^{x} sin(x)$$
$$h(x) = x^2$$
那么
$$f(x) = g(h(x))$$
因此，根据链式法则
$$f'(x) = g'(h(x)) \times h'(x) = sin(x^2) \times 2x$$
$$f'(20)=40sin(400)$$
每个人都想拥有自己的网站，此文章将为你介绍如何使用WordPress低成本搭建一个博客网站。
网络上有一些搭建静态博客网站的教程，虽然静态博客网站的搭建成本更低，但是它的内容维护很不方便，用户交互功能也不好。本文章介绍的是一种搭建动态博客网站的方法，即除了购买域名外，还需要购买一台VPS服务器。
购买服务器和域名。
推荐VPS服务器商：racknerd.com （价格实惠，1H1G一年仅需10美元左右，支持zfb）
推荐域名商：namesilo.com （价格实惠，支持zfb）
你需要分别注册账号并选择心仪的服务器和域名进行购买。过程很简单，网上教程也很多，就不多赘述了。顺便提一下，服务器的系统建议安装Debian或者Ubuntu，选域名的时候如果预算不够可以不管后缀，后缀不怎么影响搜索引擎的权重算法的。
安装Xshell8。
如果不出意外，打开后会是如下图所示的界面。
然后再会话那里新建会话，ip填vps的ip，端口一般是22，用户名和密码vps供应商会提供给你（racknerd会在你购买后通过邮件发送给你所有这些信息）。
现在不出意外的话你就可以连接到你的服务器了。
上图这样就算连接成功了。
安装和配置WordPress。
在XShell中：
（安装必要组件）
sudo apt install nginx mysql-server php-fpm php-mysql php-curl php-gd php-mbstring php-xml php-xmlrpc php-soap php-intl php-zip unzip curl -y（安装mysql）
sudo mysql_secure_installation（这里它会给你安装选项，你只需要照着提示来安装就可以了）
（安装好之后，打开mysql的命令行工具）
sudo mysql -u root -p（在mysql命令行中，输入以下命令，来给WordPress创建一个数据库和用户，一定要记住把yourpassword改掉为一个你能记住的密码，并且必须是8位以上的包含大小写字母+数字+特殊符号的密码，否则报错）
CREATE DATABASE wordpress DEFAULT CHARACTER SET utf8mb4 COLLATE utf8mb4_unicode_ci;
CREATE USER 'wpuser'@'localhost' IDENTIFIED BY 'yourpassword';
GRANT ALL PRIVILEGES ON wordpress.* TO 'wpuser'@'localhost';
FLUSH PRIVILEGES;
EXIT;（下载并配置WordPress）
cd /var/www/
sudo curl -O https://wordpress.org/latest.tar.gz
sudo tar -xzvf latest.tar.gz
sudo mv wordpress myblog
cd myblog
sudo cp wp-config-sample.php wp-config.php（使用nano编辑配置文件）
sudo nano wp-config.php（此时进入nano，使用键盘上的上下左右键移动光标和滚动页面，找到并修改以下内容，yourpassword修改为你的数据库密码）
define( 'DB_NAME', 'wordpress' );
define( 'DB_USER', 'wpuser' );
define( 'DB_PASSWORD', 'yourpassword' );（修改完成后按ctrl+X退出，询问是否保存时输入Y，然后询问改名时直接按回车不进行修改）
（修改权限）
sudo chown -R www-data:www-data /var/www/myblog（使用nano创建nginx配置）
sudo nano /etc/nginx/sites-available/myblog（粘贴以下内容到nano的编辑器）
server {
listen 80;
server_name yourdomain.com www.yourdomain.com;
root /var/www/myblog;
index index.php index.html;
location / {
try_files $uri $uri/ /index.php?$args;
}
location ~ \.php$ {
include snippets/fastcgi-php.conf;
fastcgi_pass unix:/run/php/php-fpm.sock;
}
location ~ /\.ht {
deny all;
}
}（ctrl+X退出，Y保存，然后回车）
（启动nginx）
sudo ln -s /etc/nginx/sites-available/myblog /etc/nginx/sites-enabled/
sudo nginx -t
sudo systemctl reload nginx设置dns和cdn。
dns让你的域名指向你的服务器，cdn是为了加速访问速度，同时隐藏服务器的真实ip以避免被攻击。
打开cloudflare.com，注册一个账号。
点添加域，然后输入你购买的域名。
选择free套餐，然后继续。
现在来到dns设置，我们添加或编辑记录，只保留两个记录：根网址A记录和www网址A记录。
“内容”都设置为你的服务器的真实ip地址。
接下来，cloudflare会给你两个ip地址作为新的dns解析地址。你需要打开你的域名注册商，比如namesilo，然后在域名设置中把原先的NameServer服务器地址都删掉，改为cloudflare提供给你的两个（每个人每次它给你的可能都不一样，所以我下面打码了防止你抄错）
现在你需要等5分钟到几个小时，等待dns生效，你可以定时访问你的域名，直到能够加载出一个nginx默认界面为止（而不是一个域名的占位页面或者无法访问网页）。
接下来在cloudflare的 DNS->记录 中，按照下图顺序把根域名记录和www记录这两个记录都临时取消代理。
然后在 SSL/TLS->概述->配置 中，如下图所示，临时改为“灵活”模式。
接下来，在XShell中，连接到服务器并粘贴：
sudo apt install certbot
sudo certbot --nginx -d 你的域名.com -d www.你的域名.com（别忘了替换为你的真实域名）
完成之后，你就成功给服务器加上证书了。现在，重启nginx服务：
sudo systemctl reload nginx然后，回到cloudflare，把代理打开，并且把ssl/tls重新启用“完全”配置。
到这里，不出意外的话，服务器后台配置就大功告成了！
访问你的网站，第一次访问时会自动让你创建一个admin账号，按照提示选择语言、网站样式、昵称、头像等等，接着以后就就可以登录管理员账号来管理文章和网站了，不需要访问后台。
现在，开始你的写作吧！
这是一个关于数据备份的方案。
在网站中的 仪表盘->插件->添加插件 中，搜索 UpdraftPlus ，下载这个插件（完全免费），然后启用，按照提示进行安装。到了选择存储位置的地方，我建议使用Google drive（前提是你有谷歌账号），然后你就可以方便地随时备份和恢复数据，再也不担心数据丢失了！
本文详细逐步讲解了如何从购买服务器和域名开始，搭建一个精美的博客网站，希望对你有帮助！
转载请注明原链接。