分类： 微积分

不定积分：若\(F'(x)=f(x)\)，则称函数F(x)是f(x)的一个不定积分。

可积分函数都有无穷多个不定积分，而它们的差异仅仅在常数项上。

微积分基本定理2：

若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个不定积分，则：

$$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) – F(a)$$

这意味着我们计算定积分时仅需求不定积分之差。

若\(g’ = f \) ，则称 g 是 f 的一个不定积分（也叫原函数）。由于求导会“吞掉”常数项，因此若g是f的一个不定积分，那么\(g + C \) 一定也是f的一个不定积分（其中C是常数）。更专业地说，所有形如\(g + C \)的函数（一定是f的不定积分）全体构成一个以常数为参数的族。

如图列出了一个 f 和 g 的关系，其实和微分中f’和f的关系一样。

参考/学习/推荐

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1. 基本定义

微积分基本定理是一个非常重要、优美且符合直觉的定理。它的公式如下：

$$
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)
$$

这意味着，一个函数积分的导数是原函数。

例题

求 \(\frac{d}{dx} \int_2^x cos^2(x) \)

解：

很显然，答案就是里面的原函数，也就是 \(cos^2(x) \) 。

2. 链式法则应用

先看题目：

定义 \(f(x) = \int_0^{x^2} sin(x) \) ，求 \(f'(20)\) 。

看起来也可以用该定理求出答案，但是此时积分的上限变成了\(x^2\) ，而不是 \(x\) ，这怎么办呢？

有一个拆分函数的思路可以解决这种问题：

思路：

定义

$$g(x) = \int_0^{x} sin(x)$$

$$h(x) = x^2$$

那么

$$f(x) = g(h(x))$$

因此，根据链式法则

$$f'(x) = g'(h(x)) \times h'(x) = sin(x^2) \times 2x$$

$$f'(20)=40sin(400)$$

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